{[x(x+z)x(xy)]+ [(xy)z]}+ (x+y)
x	y	z	x	(x+z)	x(x+z)x(xy)	x	(xy)	+	(xy)	z	+	(x+y)
0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0
1	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	1	0
1	1	1	1	0	0	1	0	1	0	0	1	0

¿Qué es el algebra de boole y para qué sirve?

El algebra de boole principalmente nos habla de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional para así poder solucionar mas rápidamente problemas como lo son los que tiene que ver con el ámbito de diseño electrónico. Y hubo algunas personas las cuales usaban estas teorías para aplicarlas en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica como fue “Claude Shannon”

Bueno ya con esto podemos darnos cuenta de qué y para qué es en realidad el algebra de boole, pero a continuación vamos a dar unos parámetros en los cuales se rigen para tener muy bien estipulado lo que es y que es el algebra de boole.

Es algebra de boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados que designaremos por 0 y 1 o EN otros casos se podrá ver como v (verdadero) y f (falso) que están relacionados por las dos operación vinarias denominadas suma (+) producto (•) la operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre dos variable lógicas. Bueno aquí ya podemos tener como la base de lo que vamos a hablar y lo que queremos lograr para así que soluciones podemos llegar.

Propiedades del algebra booleana

Esta propiedades nos van a ayudar mucho para el entendimiento de la teoría y la practica . pero esto no van a ser muy difíciles de entender ya que esto fue de las primeras cosas con las que estuvimos relacionadas en la matemática .

A) ambas operaciones son conmutativas es decir si a y b son elementos del algebra se verifican:

a+b =b+a

a.b =b.a

B) dentro del algebra existen dos elementos neutros el 0 y el 1 que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones.

0 +a =a 1.a =a

C) cada operación distributiva con respecto a la otra.

a. (b+c) = a. b + a. c a + (b. c) = (a + b). (a +c)

D) Para cada elemento a del algebra existe u n elemento denominado a, tal que.

a + a =1 a. a =0

En esta parte veremos algo fundamental con lo que nos vamos a ver muy relacionados en el momento de resolver circuitos ya tenemos que estar relacionados con las tablas de verdad ya que con esto será un poco mas sencillo. Sistemas digitales del algebra de boole

Operaciones

Hemos definido el conjunto A = {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma

a	b	a + b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto

a	b	a b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación

a
0	1
1	0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones combinadas

a	b
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.

4)Leyes fundamentales

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

1. Ley de idempotencia:

2. Ley de involución:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

6. Ley de cancelación:

7. Leyes de De Morgan:

5)Función booleana

es aquella función matemática cuyas variables son binarias y están unidas mediante los operadores del álgebra de Boole suma lógica (+), producto lógico (·) o negación(').

Modos de representación

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

· Algebraica

· Por tabla de verdad

· Numérica

· Gráfica

El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada caso.

Algebraica

Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.

a) F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C

b) F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

c) F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)

d) F = BC’ + AB’

e) F = (A + B)(B’ + C’)

f) F = [(BC’)’ · (AB’)’]’

g) F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’

La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su mínima expresión. Las dos últimas expresiones tienen la particularidad de que exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g).

Por tabla de verdad

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2ⁿ. Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la función lógica del punto anterior.

A	B	C	F
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

La forma más cómodo para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos

F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100 para AB’C’, 101 para AB’C y 110 para ABC’) siendo el resto de combinaciones 0. Con la función canónica de producto de sumas se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea uno de sus productos.

También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no así a la inversa.

Numérica

La representación numérica es una forma simplificada de representar las expresiones canónicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el término, ya sea una suma o un producto, por un número decimal equivalente al valor binario de la combinación. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos se representarán del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso):

AB’CD = 1011₂ = 11₁₀

A’ + B + C’ + D’ = 0100₂ = 4₁₀

Para representar una función canónica en suma de productos utilizaremos el símbolo Σ_n (sigma) y en producto de sumas Π_n (pi), donde n indicará el número de variables. Así, la representación numérica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedará como:

F = Σ₃(2, 4, 5, 6) = Π₃(0, 1, 3, 7)

Matemáticamente se demuestra, que para todo término i de una función, se cumple la siguiente ecuación:

F = [Σ_n(i)]' = Π_n(2ⁿ-1-i )

A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior:

F = Σ₃(2, 4, 5, 6) = [Σ₃(2, 4, 5, 6)]' ' = [Σ₃(0, 1, 3, 7)]' = Π₃(0, 4, 6, 7)

Gráfica

La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas)

Representación gráfica de dos funciones lógicas

Métodos de simplificación

Por simplificación de una función lógica se entiende la obtención de su mínima expresión. A la hora de implementar físicamente una función lógica se suele simplificar para reducir así la complejidad del circuito.

A continuación se indican los modos más usuales de simplificar una función lógica.

Algebraico

Para la simplificación por este método no sólo bastará con conocer todas las propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta habilidad lógico-matemática que se adquiere fundamentalmente con la experiencia.

Como ejemplo se simplificará la siguiente función:

F = A’C’ + ABC + BC’ + A’B’C + A’BC

Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2º con 5º y 4 con 5º que conllevan simplificación:

F = A’C’ + BC’ + BC(A + A’) + A’C(B + B’)

Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que diceque A + A´ = 1. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, queda

F = A’C’ + BC’ + BC + A’C

Repitiendo nuevamente el proceso,

F = A’( C’ + C) + B( C’ + C) = A’ + B

No siempre las funciones son tan fáciles de simplificar como la anterior. El método algebraico, por lo general, no resulta cómodo para los no expertos, a los cuales, una vez simplificada una ecuación le pueden quedar serias dudas de haber conseguido la máxima simplificación.

Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

	Adición	Producto
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Otras formas de notación del álgebra de Boole

En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.

Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}

Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}

Con la notación lógica las leyes de De Morgan serian así:

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto:

En esta notación las leyes de De Morgan serian así:

Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofes (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.

La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:

y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:

Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.

Álgebra de Boole aplicada a la informática

Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente.

Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano. ..

El 0 lógico

El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0".

El 1 lógico

En cambio, el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación, representado normalmente como true, ya que, por definición, el valor 1 se tiene cuando no es 0. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico, y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la "false", en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico).

Ejemplos

El álgebra de Boole más importante tiene sólo dos elementos, 0 y 1, y se define por las reglas

0 1 0 1 ---- ---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 1 1 | 0 1

Tiene aplicaciones en la lógica, donde 0 se interpreta como "falso", 1 como "verdadero", como "y", como "o", y ¬ es "no". Las expresiones que involucran variables y operadores booleanos representan proposiciones, y se puede demostrar que dos expresiones son equivalentes usando los axiomas citados anteriormente si y sólo si las correspondientes proposiciones son lógicamente equivalentes.

El álgebra de Boole de dos elementos también se utiliza para diseño de circuitos en ingeniería electrónica; aquí 0 y 1 representan los dos posibles estados en circuitos digitales con respecto al voltaje: 0=no conduce(circuito abierto);1=conduce(circuito cerrado).

Los circuitos se describen mediante expresiones que contienen variables, y dos de estas expresiones son iguales si y sólo si los correspondientes circuitos tienen el mismo comportamiento de entrada y salida. Además, cada posible comportamiento de entrada-salida puede ser expresado mediante una expresión booleana.

El álgebra de Boole de dos elementos también es importante en la teoría general de las álgebras de Boole, porque una ecuación que implica varias variables es cierta en todas las álgebras booleanas si y sólo si es cierta en un álgebra booleana de dos elementos (lo cual siempre puede ser verificado utilizando el algoritmo trivial de fuerza bruta). Esto puede aplicarse para demostrar que las siguientes leyes (Teoremas del consenso) son válidos en todas las álgebras booleanas:

(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)

(a b) (¬a c) (b c) = (a b) (¬a c)

El conjunto de partes de un conjunto dado S forma el álgebra de Boole con las dos operaciones = unión and = intersección. El elemento mínimo 0 es el conjunto vacío y el elemento máximo 1 es el propio conjunto S.

• El conjunto formado por todos los subconjuntos de S que son finitos o cofinitos es el álgebra de Boole.

• Para todo número natural n, el conjunto de todos sus divisores positivos forma una retícula distributiva si definimos a ≤ b como a divide a b. Esta retícula es el álgebra de Boole si y sólo si n es libre de cuadrados. El elemento mínimo 0 de este álgebra es el número natural 1; el elemento máximo 1 de este álgebra booleana 1 es el número natural n.

• Otros ejemplos del álgebra de Boole surgen de los espacios topológicos: si X es un espacio topológico, entonces la colección de todos los sub espacios de X que son tanto abiertos como cerrados forman un álgebra booleana con las operaciones = unión y = intersección.

• Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como

A = { e en R : e² = e y ex = xe para todo x en R }

entonces el conjunto A se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef.

• Si R es un anillo y definimos el conjunto de idempotentes centrales como

A = { e en R : e² = e y ex = xe para todo x en R }

entonces el conjunto A se convierte en el álgebra booleana con las operaciones e f = e + f − ef y e f = ef

Bibliografía

· Matemática discreta Kolmant

· http://es.software.yahoo.com/fot/ftxt/karmap.html

· http://www.terra.es/personal/jftjft/ algebra/boole/algboole.htm

· http://www.terra.es/personal/jftjft/algebra/ boole/introduccion.htm

· http://es.dir.yahoo.com/ciencia_y_tecnologia/ matemáticas/algebra/algebra_de_boole/

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· http://www.conocimientosweb.net/portal/directorio

· http://www.zabalnet.com/intro/cursos/03_algebra.htm

· http://www.inf.ufsc.br/ine5365/algboole.html

· http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/ alumnos/circuitos_logicos/algboole.html

· http://buscador.hispavista.es/logica--algebra-de-boole